Question

5．如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB=DE．若BD=8cm，則AC的長為（　　）

• A． 2cm
• B． 3cm
• C． 4cm
• D． 6cm

Answer 1

分析 由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根據同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根據AAS判斷△ABC≌△EDB，根據全等三角形的對應邊相等即可得到BD=BC，AC=BE，由E是BC的中點，得到BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=4．

解答 解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DBC}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∵E是BC的中點，BD=8cm，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=4cm．
故選C．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目，找準全等的三角形是解決本題的關鍵