Question

9．理解證明：如圖1，∠MAN=90°，射線AE在這個角的內部，點B，C在∠MAN的邊AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．證明△ABD≌△CAF；

類比探究：如圖2，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；
拓展應用：如圖3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為15，則△ACF與△BDE的面積之和為5．

Answer 1

分析 理解證明：根據AAS證明△ABD≌△CAF；
類比探究：根據AAS證明即可；
拓展應用：利用類比探究的結論、三角形的面積公式計算即可．

解答 理解證明：
證明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ADB=∠CFA=90°，
∵∠MAN=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，又∠CAF+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAF}\\{∠ADB=∠CFA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAF；
類比探究：
證明：∵∠1=∠2，
∴∠ABE=∠CAF，
∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFA}\\{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF；
拓展應用：∵△ABC的面積為15，CD=2BD，
∴△ABD的面積為15×$\frac{1}{3}$=5，
由類比探究得，△ABE≌△CAF，
∴△ACF與△BDE的面積之和=△ABD的面積=5，
故答案為：5．

點評 本題考查的是三角形全等的判定和性質，掌握全等三角形的性質定理和判定定理是解題的關鍵．