Question

8．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）證明不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP的面積都是一個(gè)常數(shù)；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由直線AB解析式可求得A、B坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則可證明△ABO≌△CAE，則可求得OE和CE的長，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由題意可知P到y(tǒng)軸的距離為1，且OB為定值，則可求得△BOP的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，可由S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP得到關(guān)于a的方程，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，可由S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO得到關(guān)于a的方程，可求得a的值．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令x=0可得y=1，令y=0可求得x=2，
∴A（2，0），B（0，1），
如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵∠BOA=∠AEC=90°，
∴∠OBA+∠BAO=∠BAO+∠CAE=90°，
∴∠OBA=∠CAE，
在△ABOt△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CEA}\\{∠OAB=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴AE=BO=1，CE=AO=2，
∴OE=3，CE=2，
∴C（3，2）；
（2）不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP都可以看成是以BO為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高的三角形，
∴S_△BOP=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP的面積都是一個(gè)常數(shù)；
（3）∵A（2，0），B（0，1），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，如圖2，則a＜0，

∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_△APO=$\frac{1}{2}$OA•（-a）=-a，S_△BOP=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC，即1+（-a）-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴a=-2；
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖3，則a＞0，

∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_△APO=$\frac{1}{2}$OA•a=a，S_△BOP=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△APO-S_△ABO=S_△ABC，即$\frac{1}{2}$+a-1=$\frac{5}{2}$，
∴a=3；
綜上可知當(dāng)△ABC和△ABP的面積相等時(shí)a的值為-2或3．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出BO和點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用a表示出△ABP的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．