Question

19．通過計算發現：
15×15=225=1×2×100+25；
25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；
（1）請根據上述發現，試填空：
45×45=2025=4×5×100+25；
（2）請你根據上述發現，寫出一般規律，并用整式的運算證明；
（3）請利用（2）中一般規律，計算1005×1005．

Answer 1

分析 （1）觀察前三個等式發現等式最后面100前面的兩個數為最前面因數十位數字以及十位數字加一，依此即可得出第四個等式；
（2）結合（1）即可得出一般規律式，再將其等式左邊展開，計算后得到等式右邊，由此即可證出該一般規律式成立；
（3）根據一般規律式可知當等式左邊為1005×1005時，n值為100，代入數據即可得出結論．

解答 解：（1）∵15×15=225=1×2×100+25；25×25=625=2×3×100+25；35×35=1225=3×4×100+25；
∴45×45=2025=4×5×100+25．
故答案為：2025；4；5．
（2）∵15×15=225=1×2×100+25；25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；45×45=2025=4×5×100+25；
∴一般規律式為（10n+5）²=100n（n+1）+25（n為自然數）．
證明：等式左邊=（10n+5）²，
=（10n）²+2×10n×5+5²，
=100n²+100n+25，
=100n（n+1）+25=等式右邊．
（3）1005×1005=（10×100+5）²=100×100×101+25=1010025．

點評 本題考查了規律型中數字的變化類，解題的關鍵是：（1）根據等式的變化找出第四個等式；（2）根據等式的變化找出等式變化的一般規律式；（3）根據規律式找出當等式左邊為1005×1005時，n值為100．