Question

11．我們把分子為1的分數叫做單位分數．如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，任何一個單位分數都可以拆分成兩個不同的單位分數的和，如$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
（1）根據對上述式子的觀察，你會發現$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{□}$+$\frac{1}{○}$．請寫出□，○所表示的數；
（2）進一步思考，單位分數$\frac{1}{n}$（n是不小于2的正整數）=$\frac{1}{X}$+$\frac{1}{Y}$，請寫出X、Y所表示的式子．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2×3}$、$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3×4}$、$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4×5}$可得$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{5×6}$；
（2）根據以上規律知$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，據此可得．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2×3}$，
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3×4}$，
$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4×5}$，
…
∴$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$；

（2）由（1）知，$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴X=n+1，Y=n（n+1）．

點評 本題主要考查數字的變化類，注意從已知入手，分析數據真正的變化情況，是解決問題的關鍵．