Question

19．已知：P是邊長為4厘米的正方形ABCD的邊BC上的點，且PC=1厘米，M是CD邊上的一個動點，
（1）當線段DM等于多少厘米時△ADM和△MCP相似
（2）連接AP，求證：以線段AP為直徑的圓和直線CD相切．

Answer 1

分析 （1）設DM=x，則CM=4-x，由于∠ADM=∠MCP，根據相似三角形的判定，當$\frac{AD}{MC}$=$\frac{MD}{PC}$時，△ADM∽△MCP或當$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DM}{CM}$時，△ADM∽△PCM，然后分別利用比例性質求出對應的DM的值即可；
（2）取AP的中點O，作OH⊥CD為H，如圖，先利用勾股定理計算出AP=5，則以AP為直徑的圓的半徑為2.5，再證明OH為梯形ADCP的中位線，所以OP=$\frac{1}{2}$（PC+AD）=2.5，然后根據切線的判定方法可判斷以線段AP為直徑的圓和直線CD相切．

解答 （1）解：設DM=x，則CM=4-x，
∵∠ADM=∠MCP，
∴當$\frac{AD}{MC}$=$\frac{MD}{PC}$時，△ADM∽△MCP，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{1}$，
整理得x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，即此時DM的長為2cm；
或當$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DM}{CM}$時，△ADM∽△PCM，即$\frac{4}{1}$=$\frac{x}{4-x}$，解得x=$\frac{16}{5}$，即此時DM的長為$\frac{16}{5}$cm，
綜上所述，當線段DM等于2cm或$\frac{16}{5}$cm時△ADM和△MCP相似；

（2）證明：取AP的中點O，作OH⊥CD為H，如圖，
在Rt△ABP中，BP=3，AB=4，
∴AP=5，
∴以AP為直徑的圓的半徑為2.5，
∵OA=OB，OH⊥CD，
∴OH為梯形ADCP的中位線，
∴OP=$\frac{1}{2}$（PC+AD）=2.5，
∴點O到CD的距離等于圓的半徑，
∴以線段AP為直徑的圓和直線CD相切．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．也考查了正方形的性質和切線的性質．