Question

8．如圖1，已知拋物線y=ax²-2x+1經過點A（9，10），交y軸于點B，直線BC||x軸，點P是直線BC下方拋物線上的動點．

（1）直接寫出拋物線的函數解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1，點B的坐標為（0，1）、C的坐標為（6，1）；
（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、BC分別交于點D、E，當四邊形PBDC的面積最大時，求P點的坐標；
（3）如圖2，當點P為拋物線的頂點時，在直線BC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點A坐標可得拋物線解析式，求出x=0時y的值即可知點B坐標，再根據拋物線對稱性得出點C坐標；
（2）設點P（m，$\frac{1}{3}$m²-2m+1），表示出PD=-$\frac{1}{3}$m²+3m，再用S_{四邊形PBDC}=S_△BDC+S_△APC=$\frac{1}{2}$BC×PD，建立函數關系式，求出極值即可；
（3）先判斷出PE=CE，再得到∠PCE=∠DBE，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．

解答 解：（1）將點A（9，10）代入得：81a-18+1=10，
解得：a=$\frac{1}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1，
當x=0時，y=1，即點B（0，1），
∵拋物線對稱軸為x=3，
∴點B關于對稱軸的對稱點C坐標為（6，1），
故答案為：y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1，（0，1），（6，1）；

（2）如圖2，

設直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（9，10）、B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=10}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
設點P（m，$\frac{1}{3}$m²-2m+1）
∴D（m，m+1）
∴PD=m+1-（$\frac{1}{3}$m²-2m+1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，
∵BC⊥PD，BC=6，
∴S_{四邊形PBDC}
=S_△BDC+S_△APC
=$\frac{1}{2}$BC×DE+$\frac{1}{2}$BC×PE
=$\frac{1}{2}$BC（DE+PE）
=$\frac{1}{2}$BC×PD
=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）
=-m²+9m
=-（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵0＜m＜6，
∴當m=$\frac{9}{2}$時，四邊形PBDC的面積取得最大值$\frac{81}{4}$，
此時點P的坐標為（$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；

（3）如圖2，

∵y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）²-2，
∴P（3，-2），
∴PE=y_E-y_P=3，CE=x_E-x_C=3，
∴PE=CE，
∴∠PCE=45°
同理可得：∠DBE=45°，
∴∠PCE=∠DBE，
∴在直線AC上存在滿足條件的Q，
設Q（t，1）且AB=9$\sqrt{2}$，BC=6，CP=3$\sqrt{2}$
∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，
①當△CPQ∽△BAC時，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{CP}{AB}$，
∴$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
∴t=4，
∴Q（4，1）
②當△CPQ∽△BCA時，
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{BC}$，
∴$\frac{6-t}{9\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
∴t=-3，
∴Q（-3，1），
綜上，點Q的坐標為（4，1）或（-3，1）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，相似三角形的性質，幾何圖形面積的求法（用割補法），解本題的關鍵是求函數解析式．