Question

14．如圖，在△ABC中，∠ACB=3∠B，AB=10，AC=4，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD于E，則CE=3．

Answer 1

分析 延長CE交AB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠AEF=∠AEC=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠FAE=∠CAE，推出△AEF≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AC=4，∠AFE=∠ACE，EF=CE，求得BF=6，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠AFC=∠B+∠ECD，等量代換得到∠ACF=∠B+∠ECD，得到∠B=∠ECD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：延長CE交AB于F，
∵CE⊥AD，
∴∠AEF=∠AEC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
在△AEF與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠ACE}\\{AE=AE}\\{∠AEF=∠AEC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ACE，
∴AF=AC=4，∠AFE=∠ACE，EF=CE，
∴BF=6，
∵∠AFC=∠B+∠ECD，
∴∠ACF=∠B+∠ECD，
∴∠ACB=2∠ECD+∠B，
∵∠ACB=3∠B，
∴2∠ECD+∠B=3∠B，
∴∠B=∠ECD，
∴CF=BF=6，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．