Question

已知，△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BF平分∠ABC交AD于點E，交AC于F，作FH⊥BC，EM∥BC，寫出圖中所有與AF相等的線段，并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質

專題：

分析：AF=AE=FH=MC．由△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC與FB平分∠ABC，根據等角的余角相等，易得∠AFE=∠BED，又由對頂角相等，可得∠AEF=∠AFE，則可證得AE=AF．然后利用全等三角形（Rt△AEM≌Rt△FHC）來證得AM=FC，AF=MC．

解答： 解：AF=AE=FH=MC．理由如下：
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠BED=90°，
∵FB平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD，
∴∠BED=∠AFE，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∵點F在∠ABC的角平分線上，
∴AF=FH．
∵AE=AE，AF=FH，
∴AE=FH．
易證 Rt△AEM≌Rt△FHC，
∴AM=FC，
∴AF=MC．

點評：此題考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．