Question

（10分）在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC=，圓的半徑為1，如圖所示，若點O在BC邊上運動（與點B、C不重合），設OB=x，△AOC的面積為y.

（1）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（4分）

（2）以點O為圓心，BO長為半徑作圓，求當圓O與圓A相切時，△AOC的面積.（6分）

Answer 1

（1）y= -x+4（0<x<4）；（2）或

【解析】

試題分析：（1）過點A作AD⊥BC于點D，S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x ；

（2）圓O與圓A相切，分外切和內切兩種情況討論：，在Rt△AOD中，根據AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8，求出x的值，可求.

試題解析：（1）過點A作AD⊥BC于點D

∵∠BAC=90° AB=AB=2 ∴BC= 4 AD=BC=2

∴S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x

即y= -x+4（0<x<4）

（2）當點O與點D重合時，圓O與圓A相交，不合題意

當點O與點D不重合時，在Rt△AOD中，

AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8

∵⊙O1的半徑是1，⊙O2的半徑是x

∴①當⊙A與⊙O外切時

（x+1）2=x2-4x+8 解得x=

此時，△AOC的面積是y= 4-=

②當⊙A與⊙O內切時（x+1）2=x2-4x+8 解得x=

此時，△AOC的面積是y= 4-=

∴當⊙A與⊙O相切時，△AOC的面積為或。

考點：1. 直線與圓的位置關系；2.求一次函數的解析式及一次函數的應用.