Question

10．已知$\sqrt{25-{x}^{2}}$-$\sqrt{15-{x}^{2}}$=2，求40-2x²的值．

Answer 1

分析 把$\sqrt{25-{x}^{2}}$-$\sqrt{15-{x}^{2}}$=2，兩邊同乘以$\sqrt{25-{x}^{2}}$+$\sqrt{15-{x}^{2}}$得到$\sqrt{15-{x}^{2}}$+$\sqrt{25-{x}^{2}}$=5，把40-2x²化為$\frac{1}{2}$（$\sqrt{25-{x}^{2}}$-$\sqrt{15-{x}^{2}}$）+（$\sqrt{25-{x}^{2}}$+$\sqrt{15-{x}^{2}}$），代入即可得到結論．

解答 解：∵$\sqrt{25-{x}^{2}}$-$\sqrt{15-{x}^{2}}$=2，
∴（$\sqrt{25-{x}^{2}}$-$\sqrt{15-{x}^{2}}$）（$\sqrt{25-{x}^{2}}$+$\sqrt{15-{x}^{2}}$）=2（$\sqrt{25-{x}^{2}}$+$\sqrt{15-{x}^{2}}$），
∴$\sqrt{15-{x}^{2}}$+$\sqrt{25-{x}^{2}}$=5，
∴40-2x²=25-x²+15-x²=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{25-{x}^{2}}$-$\sqrt{15-{x}^{2}}$）²+（$\sqrt{25-{x}^{2}}$+$\sqrt{15-{x}^{2}}$）²]
=$\frac{1}{2}$（2²+5²）=$\frac{29}{2}$．

點評 本題考查了二次根式的化簡求值，求得$\sqrt{15-{x}^{2}}$+$\sqrt{25-{x}^{2}}$=5是解題的關鍵．