Question

如圖所示，直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸于點B（0，b），且a、b滿足

a+b

+(a-4)2=0．
（1）如圖1，若C的坐標為（-1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，試求點P的坐標；
（2）如圖2，連接OH，求證：∠OHP=45°；
（3）如圖3，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當M點在y軸正半軸上運動的過程中，式子S_△BDM-S_△ADN的值是否發生改變？如發生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,坐標與圖形性質

專題：綜合題

分析：（1）要求點P的坐標，只需求出OP的長度，如圖1，易證△OAP≌△OBC，即可得到OP=OC=1；
（2）要證∠OHP=45°，只需證明HO平分∠CHA，過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，如圖2，只需證到OM=ON，只需證明△COM≌△PON即可；
（3）連接OD，如圖3，易證△ODM≌△ADN，從而有S_△ODM=S_△ADN，由此可得S_△BDM-S_△ADN=S_△BDM-S_△ODM=S_△BOD=

1

2

S_△AOB=4．

解答： 解：（1）如圖1，
∵

a+b

+(a-4)2=0，
∴a+b=0，a-4=0，
∴a=4，b=-4，
則OA=OB=4．
∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°
∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠HAC=∠OBC．
在△OAP與△OBC中，

∠COB=∠POA=90° OA=OB ∠OAP=∠OBC

，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP=OC=1，
則P（0，-1）；

（2）過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，如圖2．
在四邊形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM與△PON中，

∠COM=∠PON ∠OMC=∠ONP=90° OC=OP

，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=

1

2

∠CHA=45°；

（3）S_△BDM-S_△ADN的值不發生改變，等于4．
理由如下：
連接OD，如圖3．
∵∠AOB=90°，OA=OB，D為AB的中點，
∴OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD
∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，
∴∠DAN=135°=∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN=90°，
∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA．
在△ODM與△ADN中，

∠MDO=∠NDA ∠DOM=∠DAN OD=AD

，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S_△ODM=S_△ADN
∴S_△BDM-S_△ADN
=S_△BDM-S_△ODM
=S_△BOD
=

1

2

S_△AOB
=

1

2

×

1

2

AO•BO
=

1

2

×

1

2

×4×4
=4．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的判定、二次根式及完全平方式的非負性等知識，在解決第（3）小題的過程中還用到了等積變換，而運用全等三角形的性質則是解決本題的關鍵．