Question

【題目】如圖，在正方形中，，分別為，的中點，連接，，交點為. 若正方形的邊長為.

（1）求證：；

（2）將沿對折，得到（如圖），延長交的延長線于點，求的長；

（3）將繞點逆時針方向旋轉，使邊正好落在上，得到（如圖），若和相交于點，求四邊形面積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）1；（3）四邊形的面積是．

【解析】

（1）運用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°求證；
（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系證明QF=QB，在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解決問題．
（3）先求出正方形的邊長，再根據面積比等于相似邊長比的平方，求得S△AGN=，再利用S四邊形GHMN=S△AHM-S△AGN求解．

解：（1）證明：如圖，

∵分別是正方形邊的中點，

∴，

在和中，

，

∴，

，

又∵，

∴，

∴，

∴.

（2）解：如圖，根據題意得，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

在中，設，

∴，

∴，

∴．

（3）解：∵正方形邊長為，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∴

∴

∴，

∴，

∴四邊形的面積是．