Question

【題目】“才飲長沙水，又食武昌魚”.因一代偉人毛澤東的佳句，“鄂州武昌魚”名揚天下.某網店專門銷售某種品牌真空包裝的武昌魚熟食產品，成本為30元/盒，每天銷售y(盒)與銷售單價x(元)之間存在一次函數關系，如圖所示．

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)如果規定每天這種武昌魚熟食產品的銷售量不低于240盒，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？

(3)該網店店主熱心公益事業，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3 600元，試確定這種武昌魚熟食產品銷售單價的范圍．

Answer 1

【答案】(1)y＝－10x＋700；(2)銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元；(3)45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元．

【解析】

（1）可用待定系數法來確定y與x之間的函數關系式；
（2）根據利潤=銷售量×單件的利潤，然后將（1）中的函數式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關系式，然后根據其性質來判斷出最大利潤；
（3）首先得出w與x的函數關系式，進而利用所獲利潤等于3600元時，對應x的值，根據增減性，求出x的取值范圍．

(1)設y與x的關系式是，由題意得

，解得．

故y與x之間的函數關系式為y＝－10x＋700

(2)由題意，得－10x＋700≥240．解得x≤46．

設利潤為W＝(x－30)y＝(x－30)(－10x＋700)

＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000．

∵－10＜0，

∴x＜50時，W隨x的增大而增大．

∴x＝46時，W最大值＝－10(46－50)2＋4000＝3840．

答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元；

(3)W－150＝－10x2＋1 000x－21000－150＝3600．

－10(x－50)2＝－250．

x－50＝±5．

x1＝55，x2＝45．

如圖所示，由圖象得，

當45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元．