Question

3．已知y-4與x成正比例，且 x=6 時，y=-4．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）設點P在y軸上，（1）中的函數圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以A、B、P為頂點的等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據正比例函數的定義設y-4=kx，然后把x=6，y=-4代入計算，求出k的值即可．
（2）根據直線的解析式得到A和B的坐標，進而得到OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長，根據題意可分3種情況考慮，寫出P的坐標即可．

解答 解：（1）設y-4=kx，
把x=6，y=-4代入得6k=-4-4，解得k=-$\frac{4}{3}$，
所以y關于x的函數表達式為y=-$\frac{4}{3}$x+4．
（2）一次函數y=-$\frac{4}{3}$x+4中令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3，
∴A（3，0），B（0，4），
在直角三角形AOB中，根據勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
分四種情況考慮，如圖所示：
當BP=BA時，此時P₁（0，9），P₂（0，-1）；
當AB=AP時，此時P₃（0，-4）；
當PA=PB時，此時M₄（0，$\frac{7}{8}$）．
綜上，這樣的P點有4個，p₁（0，9）p₂（0，-1）p₃（0，-4）p₄ （0，$\frac{7}{8}$）．

點評 本題考查了待定系數法求一次函數解析式，等腰三角形的性質，勾股定理，以及一次函數與坐標軸的交點，利用了數形結合及分類討論的思想，在分類討論分情況解決數學問題時，必須認真審題，全面考慮，做到不重不漏．