Question

11．如圖，拋物線y=x²-3x+$\frac{5}{4}$與x軸相交A、B兩點，與y軸相交于點C，D是直線BC下方的拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E．
（1）求直線BC對應的函數解析式；
（2）當線段DE的長度最長時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出B、C兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2）設D坐標為（m，m²-3m+$\frac{5}{4}$），則點E坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$），設DE的長為d，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=x²-3x+$\frac{5}{4}$，令y=0，得x²-3x+$\frac{5}{4}$=0，解得x=$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0），
令x=0，得y=$\frac{5}{4}$，
∴C（0，$\frac{5}{4}$）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=0}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$．

（2）設D坐標為（m，m²-3m+$\frac{5}{4}$），
∴點E坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$），設DE的長為d，
∵D是直線BC下方的一點，
∴d=（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$）-（m²-3m+$\frac{5}{4}$）=-m²+$\frac{5}{2}$m=-（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
∴當m=$\frac{5}{4}$時，線段DE的長度最長，此時D（$\frac{5}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、一次函數的應用、待定系數法等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法確定函數解析式，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考常考題型．