Question

10．若方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ay=5}\\{y-x=6a}\end{array}\right.$有正整數解，求a的值．

Answer 1

分析 將y-x=6a代入x²+2ay=5中，達到消元的目的，再按照一元二次方程的解法去求解即可．

解答 解：將y-x=6a代入x²+2ay=5中整理得：
x²+2ax+12a²-5=0，
配方得：（x+a）²=5-11a²，
由5-11a²≥0可知a²≤$\frac{5}{11}$，
由（x+a）²=5-11a²和a²≤$\frac{5}{11}$可看出，x最大不可能超過3，
①將x=1代入x²+2ax+12a²-5=0中，6a²+a-2=0，
解得：a₁=-$\frac{2}{3}$，a₂=$\frac{1}{2}$，
將其代入y-x=6a中由y為正整數得知：a₁=-$\frac{2}{3}$不合適．
②將x=2代入x²+2ax+12a²-5=0中，12a²+4a-1=0，
解得：a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{6}$，
將其代入y-x=6a中由y為正整數得知：a₃=-$\frac{1}{2}$不合適．
③將x=3代入x²+2ax+12a²-5=0中，12a²+9a+4=0，
方程無解．
綜上得知：若方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ay=5}\\{y-x=6a}\end{array}\right.$有正整數解，a的值為$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查的是高次方程組，解題的關鍵是消元，在根據已知條件去進行判斷即可解決．