Question

1．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸正半軸相交于點A（1，0）、B，與y軸相交于點C（0，-2）．
（1）求拋物線解析式．
（2）求證：△AOC∽△COB；
（3）過點C作CD∥x軸交拋物線于點D．若點P在線段AB上以每秒1個單位的速度由A向B運動，同時點Q在線段CD上也以每秒1個單位的速度由D向C運動，則經過幾秒后，PQ=AC．

Answer 1

分析 （1）把點A、C的坐標代入函數解析式，列出關于b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）根據點與坐標的性質以及“兩角法”證得結論；
（3）根據拋物線的對稱性可知：AC=BD，四邊形ABDC為等腰梯形，那么本題可分兩種情況進行求解：①當四邊形APQC是等腰梯形，即四邊形PQDB是平行四邊形時，AC=PQ，那么QD=PB，可據此來求t的值．
②當四邊形ACQP是平行四邊形時，AC=PQ，那么此時AP=CQ，可據此求出t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c過點 A（1，0）、點C（0，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$；

（2）證明：∵A（1，0），B（4，0），C（0，-2）．
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OC}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$
又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB．

（3）設經過t秒后，PQ=AC．
由題意得：AP=DQ=t．
∵A（1，0）、B（4，0），
∴AB=3，
∴BP=3-t‘
∵CD∥x軸，點C（0，-2）
∴點D的縱坐標為-2．
∵點D在拋物線y=$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$上，
∴D（5，-2），
∴CD=5，
∴CQ=5-t
①當AP=CQ，即四邊形APQC是平行四邊形時，PQ=AC．
t=5-t∴t=2.5．
②連結BD，當DQ=BP，即四邊形PBDQ是平行四邊形時，
PQ=BD=AC．t=3-t，
∴t=1.5．
所以，經過2.5秒或 1.5秒時，PQ=AC．

點評 本題考查了二次函數的性質、相似三角形的判定和性質、等腰梯形和平行四邊形的性質等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．