Question

6．圖，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，以三邊為邊長作正方形，則所得的六邊形DEFGHI的面積為74．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=4，再利用四邊形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，可計(jì)算出S_{正方形ABDE}=5²=25，S_{正方形ACHM}=4²=16，S_{正方形BCGF}=3²=9，利用周角的定義可計(jì)算出∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量代換可得S_△DBF=S_△ABC，S_△MAE=S_△ABC，S_△HCG=S_△ABC，然后把六邊形DEMHGF內(nèi)的各部分的面積相加即可．

解答 解：如圖，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵四邊形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，
∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，S_{正方形ABDE}=4²=16，S_{正方形ACHM}=5²=25，S_{正方形BCGF}=3²=9，
∴∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，
過I作IM⊥DA交DA的延長線于M，
∴∠M=∠ABC=90°，
∵∠DAI+∠MAI=∠DAI+∠BAC=180°，
∴∠IAM=∠BAC，
在△AMI與△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠ABC}\\{∠BAC=∠MAI}\\{AC=AI}\end{array}\right.$，
∴△AMI≌△ABC，
∴AB=AM，
∴AD=AM，
∴S_△AMI=S_△ABC=S_△ADI，
同理S_△BEF=S_△ABC，S_△CHG=S_△ABC，
∴S_△DBF=S_△MAE=S_△HCG=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴六邊形DEMHGF的面積=25+16+9+4×6=74．
故答案為：74．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，證得△AMI≌△ABC是解題的關(guān)鍵．