Question

11．如圖，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一點，且△DEC是等腰三角形．
（1）試比較AD+BC與AB的大小，寫出你的猜想，并說明理由；
（2）若AB=7，BC=4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質得出DE=CE，∠DEC=90°，由梯形的性質和角的互余關系得出∠B=90°，∠ADE=∠BEC，由AAS證明△ADE≌△BEC，得出對應邊相等AD=BE，AE=BC，即可得出結論；
（2）由（1）的結論求出AD，由梯形的面積公式即可得出結果．

解答 解：（1）AD+BC=AB；理由如下：
∵△DEC是等腰直角三角形．
∴DE=CE，∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B+∠A=180°，∠AED+∠ADE=90°，
∴∠B=90°，∠ADE=∠BEC，
在△ADE和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}&{\;}\\{∠ADE=∠BEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BEC（AAS），
∴AD=BE，AE=BC，
∴AD+BC=BE+AE=AB；
（2）由（1）得：AD+BC=AB，
∴AD=AB-BC=7-4=3，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AB=$\frac{1}{2}$×（3+4）×7=$\frac{49}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、梯形的性質以及面積的計算；本題難度適中，證明三角形全等是解決問題的關鍵．