Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當BD=5，CD=4時，求AF的值．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ADC=90⁰。
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC。
∴∠BAC=∠ADC=90°。∴BA⊥AC。
又∵AB是⊙O的直徑，∴AC是⊙O的切線。
（2）∵△ADC∽△BAC（已證），∴。
∵BD=5，CD=4，∴BC=9。∴，解得：AC=6。
∴在Rt△ACD中，，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6。∴DF=CA－CD=2。
∴在Rt△AFD中，。

（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90⁰，從而可判斷AC是⊙O的切線。
（2）根據（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，從而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長。