Question

如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，圓心在AC上，∠A=30°，D為BC的中點．

（1）求證：AB=BC；
（2）求證：四邊形BOCD是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB。
∵∠A=30°，∴∠AOB=60°。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°。
∴∠A=∠OCB。∴AB=BC。
（2）連接OD，

∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°。
∵D為BC的中點，∴。
∴∠BOD=∠COD=60°。
∵OB=OD=OC，∴△BOD與△COD是等邊三角形。
∴OB=BD=OC=CD。∴四邊形BOCD是菱形。

（1）由AB是⊙O的切線，∠A=30°，易求得∠OC的度數，繼而可得∠B=∠OCB=30°，又由等角對等邊，證得AB=BC。
（2）首先連接OD，易證得△BOD與△COD是等邊三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可證得四邊形BOCD是菱形。