Question

已知：如圖，AC⊙O是的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，∠PBA=∠C．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：連接OB，

∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90°。 
∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB。
∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC。
∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°。
∴OB⊥PB。
∵OB為半徑，∴PB是⊙O的切線。
（2）設⊙O的半徑為r，則AC=2r，OB=R，
∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB。
∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC。
∴，即，解得。
∴⊙O的半徑為。

試題分析：（1）連接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根據切線的判定推出即可。
（2）證△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可。