Question

11．如圖，已知l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l₁，l₂重合，AC=8cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l₁同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設移動時間為t（s）．

（1）如圖①，連接OA，則∠OAC的度數為105°；
（2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達⊙O₁的位置，矩形ABCD到達A₁B₁C₁D₁的位置，此時點O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO₁的長）；
（3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，當直線AC與⊙O第一次相切時，求移動時間t₁．（解答時可以利用備用圖畫出相關示意圖）

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質以及銳角三角函數關系分別求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，進而得出答案；
（2）首先求出∠C₁A₁D₁=60°，再利用A₁E=AA₁-OO₁-2=t-2，求出t的值，進而得出OO₁=3t得出答案即可；
（3）由（2）得出∠C₂A₂D₂=60°，∴∠GA₂F=120°，求出∠O₂A₂F=60°，在Rt△A₂O₂F中，O₂F=2，求出A₂F=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由OO₂=3t₁，AF=AA₂+A₂F=4t₁+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，
∴∠OAD=45°，
∵四邊形ABCD是矩形，AC=8cm，
∴∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD=4cm，CD=AB，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm，
∴tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=105°，
故答案為：105；故答案為：105；

（2）如圖位置二，當O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上時，設⊙O₁與l₁的切點為E，
連接O₁E，可得O₁E=2，O₁E⊥l₁，
在Rt△A₁D₁C₁中，∵A₁D₁=4，C₁D₁=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠C₁A₁D₁=$\sqrt{3}$，
∴∠C₁A₁D₁=60°，
在Rt△A₁O₁E中，∠O₁A₁E=∠C₁A₁D₁=60°，
∴A₁E=$\frac{2}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵A₁E=AA₁-OO₁-2=t-2，
∴t-2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2，
∴OO₁=3t=2$\sqrt{3}$+6；即圓心O移動的距離為2$\sqrt{3}$+6；

（3）當直線AC與⊙O第一次相切時，移動時間為t₁，
如圖位置一，此時⊙O移動到⊙O₂的位置，矩形ABCD移動到A₂B₂C₂D₂的位置，
設⊙O₂與直線l₁，A₂C₂分別相切于點F，G，連接O₂F，O₂G，O₂A₂，
∴O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，
由（2）得，∠C₂A₂D₂=60°，
∴∠GA₂F=120°，
∴∠O₂A₂F=60°，
在Rt△A₂O₂F中，O₂F=2，
∴A₂F=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵OO₂=3t₁，AF=AA₂+A₂F=4t₁+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴4t₁+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-3t₁=2，
∴t₁=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了矩形的性質、切線的性質、勾股定理、直角三角形的性質、銳角三角函數等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握矩形的性質和切線的性質是解決問題的關鍵．