Question

20．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，∠CAB=60°．
（1）求陰影部分的面積；
（2）求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理得出∠ACB=90°，再由銳角三角函數的定義求出BC的長，連接OC，過點C作CE⊥x軸于點E，則可得出CE的長，由陰影部分的面積=S_扇形OBC-S_△OBC即可求得陰影部分面積；
（2）連接AD，由角平分線的定義求出∠ACD的度數，過點A作AF⊥CD于點F，由銳角三角函數的定義求出AF，CF及DF的長，根據CD=CF+FD即可求得CD長．

解答 解：
（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，
∵∠CAB=60°，AB=6，
∴BC=AB•sin∠CAB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，∠CBA=30°，
如圖1，連接OC，過點C作CE⊥x軸于點E，
在Rt△BCE中，CE=BCsin∠CBA=3$\sqrt{3}$$\frac{1}{2}$×=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
陰影部分的面積=S_扇形OBC-S_△OBC=$\frac{120×π×9}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×3=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
（2）連接AD，如圖2，
∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=∠ABC=30°，
在△CAD中，AC=3，∠ACD=45°，
過點A作AF⊥CD于點F，在Rt△AFC中，AF=CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在Rt△AFD中，
∵DF=$\sqrt{3}$，AF=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴CD=CF+FD=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的是圓周角定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．