Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P經過x軸上一點C，與y軸分別相交于A、B兩點，連接AP并延長分別交⊙P、x軸于點D、點E，連接DC并延長交y軸于點F．若點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1）．
（1）求證：DC=FC；
（2）判斷⊙P與x軸的位置關系，并說明理由；
（3）求⊙P的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，只要證明△FOC≌△DHC（AAS），即可推出DC=FC；
（2）結論：⊙P與x軸相切．只要證明PC⊥x軸即可．
（3）設AD的長為x，則在直角△ABD中，由勾股定理，得x²=6²+（x-2）²，解得 x=10．推出點A的坐標為（0，-9），再利用待定系數法即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，則∠CHD=∠COF=90°．
∵點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1），
∴DH=OF，
∵在△FOC與△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠DCH}\\{∠FOC=∠DHC=90°}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△DHC（AAS），
∴DC=FC；

（2）答：⊙P與x軸相切．理由如下：
如圖，連接CP．
∵AP=PD，DC=CF，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x軸．
又PC是半徑，
∴⊙P與x軸相切；

（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位線，
∴AF=2CP．
∵AD=2CP，
∴AD=AF．
連接BD．
∵AD是⊙P的直徑，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1．
設AD的長為x，則在直角△ABD中，由勾股定理，得
x²=6²+（x-2）²，
解得 x=10．
∴點A的坐標為（0，-9）．
設直線AD的解析式為：y=kx+b（k≠0）．則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{6k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x-9．

點評 本題考查了圓的綜合題、一次函數解析式的應用、坐標與圖形的性質、全等三角形的判定與性質、切線的判定與性質等知識，解題的關鍵是，學會添加常用輔助線．構造全等三角形解決問題，本題體現了數形結合數學思想的應用，屬于中考壓軸題．