Question

18．在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A₁BC₁．點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P₁，則線段EP₁長度的最大值與最小值的差為9-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 過點B作BD⊥AC，D為垂足，在Rt△BCD中，根據BD=BC×sin45°求出BD的長．①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，據此求解可得．

解答 解：如圖，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值為2+5=7，
∴線段EP₁長度的最大值與最小值的差為7-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+2=9-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：9-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查旋轉變換、解直角三角形的應用，根據題意得出點P的對應點P₁在線段AB上時EP₁最小、點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時EP₁最大是解題的關鍵．