Question

13．如圖，已知直線l：y=-$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B兩點，且對稱軸為直線x=-$\frac{3}{2}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設P是拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交直線1于點Q．
①若以AB為直徑的圓恰好與直線PQ相切，求此時點Q的坐標；
②若點P在y軸右側的拋物線上，在點P的運動過程中，△APQ能否為等腰三角形？若能，求出Q點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出A、B兩點坐標，構建方程組即可解決問題．
（2）①設Q的坐標為：（x，-$\frac{3}{4}$x-3），由A（-4，0），B（0，-3），推出AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，AB的中點坐標為（-2，-$\frac{3}{2}$），因為以AB為直徑的圓恰好與直線PQ相切，可得|x-（-2）|=$\frac{5}{2}$，解方程即可解決問題．
②分三種情形，分別構建方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵直線l：y=-$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經過A、B兩點，且對稱軸為直線x=-$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3；

（2）①設Q的坐標為：（x，-$\frac{3}{4}$x-3），
∵A（-4，0），B（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，AB的中點坐標為（-2，-$\frac{3}{2}$），
∵以AB為直徑的圓恰好與直線PQ相切，
∴|x-（-2）|=$\frac{5}{2}$，
解得：x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{9}{2}$，
∴此時點Q的坐標為：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{27}{8}$）或（-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{8}$）；

②設P的坐標為（x，$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3），則Q（x，-$\frac{3}{4}x-3$）
如圖1中，當PA=PQ時，作PM⊥AQ于M，設PQ交x軸于N．易知PQ=$\frac{3}{4}$x²+3x，

∵OB∥NQ，
∴OA：AN=AB：AQ，
∴4：（4+x）=5：AQ，
∴AQ=$\frac{5}{4}$（4+x），AM=MQ=$\frac{5}{8}$（4+x），
∵cos∠AQN=cos∠PQM=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{5}{8}（4+x）}{\frac{3}{4}{x}^{2}+3x}=\frac{3}{5}$，
解得x=$\frac{25}{18}$或-4（舍棄），此時Q（$\frac{25}{18}$，-$\frac{97}{24}$）．
如圖2中，當QA=QP時，則有$\frac{5}{4}$（4+x）=$\frac{3}{4}$x²+3x，解得x=$\frac{5}{3}$或-4（舍棄），此時Q（$\frac{5}{3}$，-$\frac{17}{4}$）．

如圖3中，當AP=AQ時，設AP交y軸于N．

∵直線AP與直線AQ關于x軸對稱，
∴N（0，3），
∴直線AN的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+3}\\{y=\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∵A（-4，0），
∴P（2，$\frac{9}{2}$），
∴Q（2，-$\frac{9}{2}$），
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（$\frac{25}{18}$，-$\frac{97}{24}$）或（$\frac{5}{3}$，-$\frac{17}{4}$）或（2，-$\frac{9}{2}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、等腰三角形的判定和性質、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．