Question

（本題12分）已知：如圖1，點D是邊長為2的等邊△ABC邊BC所在直線上的一動點，從點B向C方向運動，以AD為邊向右側作等邊△ADE。

（1）連接CE,若點D在邊BC上時，易知線段CE 、CD、AC三者之間的關系為CE+CD=AC; 如圖2當點D在C的右側時，試探索線段CE 、CD、AC三者之間的數量關系，并說明理由。

（2如圖1，當點D從B運動到C時，①直接寫出△CDE周長的最小值。②直接寫出點E的運動路徑長。

（3）若將題目中條件“等邊△ADE”改為“滿足∠ADE=60°與等邊△ABC的外角平分線交于點E”,那么CE與BD還相等嗎？如圖3請作出判斷并給出說明。

圖1 圖2 圖3

Answer 1

（1） CD+AC=CE （2） ① 2+ ② 2 （3） CE=BD

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質可得出△ABD≌△ACE，從而得證BD=CE，進而根據等量代換得出結論；

（2）根據等腰三角形的性質可知當D點在BC的中點時，△CDE周長的值最小，可求周長，再根據（1）的結論和周長求出E點的路徑；

（3）過點D作DF∥AC交AB于點F，根據平行線的性質和等邊三角形的性質可以證得△BFD是等邊三角形，進而得出AF=CD，∠CDE=∠BAD，再根據∠AFD=∠DCE=120°得△AFD≌△DCE，因此得證結論.

試題解析：（1）【解析】
CD+AC=CE

理由：∵等邊△ABC和等邊△ADE

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

又BD=BC+CD,AC=BC

∴CD+AC=CE

（2） ① 2+ ② 2

（3）【解析】
CE=BD

過點D作DF∥AC交AB于點F

∵等邊△ABC

∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°

∴∠BFD=∠BAC=60°

∴△BFD是等邊三角形

∴BF=BD 又AB=AC

∴AF=CD

∵∠ADE=60°

∴∠ADB+∠CDE=120°

又∠B=60°

∴∠ADB+∠BAD=120°

∴∠CDE=∠BAD

又∠AFD=∠DCE=120°

∴△AFD≌△DCE（ASA）

∴CE=DF,又DF=BD

∴CE=BD

考點：平行線的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質