Question

19．如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）猜想：ME與MF的數量關系ME=MF；
（2）如圖2，若將原題中的“正方形”改為“矩形”且AB：BC=1：2，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的數量關系，并說明理由．
（3）如圖3，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且∠M=∠B，AB：BC=m，其他條件不變，求出ME：MF的值．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，首先證明M是正方形ABCD對角線的交點，然后證明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性質得到ME=MF；
（2）過點M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性質和已知條件證明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性質即可求解；
（3）平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，由于M是平行四邊形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，AD交QM于E，則ME=mMF．證明方法和（1）（2）類似．

解答 解：（1）ME=MF．
理由：如圖1，過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，則∠MHF=∠MGE=90°，
∵M是正方形ABCD的對稱中心，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠EMF=∠HMG=90°，
∴∠FMH=∠EMG，
在△MHF和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMH=∠EMG}\\{MH=MG}\\{∠MHF=∠MGE}\end{array}\right.$
∴△MHF≌△MGE（ASA），
∴MF=ME，
故答案為：MF=ME；

（2）MF=2ME．
理由：如圖2，過點M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，則∠MHE=∠MGF=90°，
在矩形ABCD中，∠A=90°，
∴在四邊形GMHA中，∠GMH=90°，
又∵∠EMF=90°，
∴∠HME=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MH}{MG}$，
又∵M是矩形ABCD的對稱中心，
∴MG=$\frac{1}{2}$BC，MH=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{MH}{MG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴MF=2ME；

（3）ME：MF=m．
理由：如圖3，過點M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，則∠MHE=∠MGF=90°，
在平行四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，
∴∠A+∠EMF=180°，
又∵在四邊形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，
∴∠EMF=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MH}{MG}$，
又∵M是矩形ABCD的對稱中心，
∴$\frac{MH}{MG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{mBC}{BC}$=m，
∴ME：MF=m．

點評 此題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質、全等三角形、相似三角形的性質和判定的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形或相似三角形，運用相似三角形的對應邊成比例進行推導．