Question

20．如圖，在△ABC中，∠BAC為鈍角，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E．
（1）若BD²+CE²=DE²，則∠BAC的度數；
（2）若∠ABC的平分線BF和邊AC的垂直平分線EF相交于點F，過點F作FG垂直于BA的延長線于點G．求證：BC-AB=2AG．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AD、AE．首先證明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，設∠DBA=∠DAB=x，∠EAC=∠C=y，根據三角形內角和定理可得2x+90°+2y=180°，
推出x+y=45°，由此即可解決問題．
（2）如圖2中，連接AF，FC，作FM⊥CB于M，只要證明Rt△BFG≌Rt△CFM，Rt△AFG≌Rt△CFM，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接AD、AE．

∵邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，
∴BD=DA，EA=EC，
∴∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，設∠DBA=∠DAB=x，∠EAC=∠C=y，
∵BD²+CE²=DE²，
∴AD²+AE²=DE²，
∴∠DAE=90°，
∴2x+90°+2y=180°，
∴x+y=45°，
∴∠BAC=x+y+90°=135°．

（2）證明：如圖2中，連接AF，FC，作FM⊥CB于M，

∵BF平分∠CBA，FG⊥BA，FM⊥CB，
∴FG=FM（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
在Rt△BFG和Rt△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{FG=FM}\end{array}\right.$
∴Rt△BFG≌Rt△CFM，
∴BG=BM，
∵EF垂直平分線AC，
∴FA=FC（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等），
∵FG=FM，∠AFD=∠DMB=90°，
在Rt△AFG和Rt△CFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FG=FM}\\{FA=FC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFG≌Rt△CFM，
∴CM=AG，
∵BC=BM+CM，BG=AB+AG，BG=BM，CM=AG，
∴BC=AB+2AG，
∴BC-AB=2AG．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、角平分線的性質、勾股定理的逆定理等知識，根據已知角平分線以及垂直平分線作出相關輔助線從而利用全等求出是解決問題的關鍵．