Question

4．用如圖（1）兩個直角三角形BC=EF=3，∠B=45°，∠E=30°，拼接如圖（2），使得BC和ED重合，在BC邊上有一動點P．
（1）在圖（2），當點P運動到∠CFB的平分線上時，連接AP，求線段AP的長；
（2）在圖（2），當點P在運動的過程中出現PA=FC時，求∠PAB的度數
（3）當點P運動到什么位置時，以A、P、F、Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊FC上？求出此時四邊形
APFQ的面積．

Answer 1

分析 （1）如答圖1所示，過點A作AG⊥BC于點G，構造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的長度；
（2）如答圖2所示，符合條件的點P有兩個．解直角三角形，利用特殊角的三角函數值求出角的度數；
（3）先判斷出AP∥FQ，進而得出AP⊥BC，即可求出AP=BP=CP=$\frac{3}{2}$，最后用四邊形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由題意，得∠CFB=60°，FP為角平分線，則∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴CP=CF•tan∠CFP=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1．
過點A作AG⊥BC于點G，則AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴PG=CG-CP=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

（2）由（1）可知，FC=$\sqrt{3}$．
如答圖2所示，以點A為圓心，以FC=$\sqrt{3}$長為半徑畫弧，與BC交于點P₁、P₂，則AP₁=AP₂=$\sqrt{3}$．

過點A過AG⊥BC于點G，則AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．
在Rt△AGP1中，cos∠P₁AG=$\frac{AG}{A{P}_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴∠P₁AG=30°，
∴∠P₁AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P₂AG=30°，∠P₂AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度數為15°或75°．

（3）如答圖3，

∵以A、P、F、Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊FC上，
∴AP∥QF，
∴∠APC=∠BCF，
∵∠BCF=90°，
∴∠APC=90°，
在R△ABC中，∠ABC=45°，BC=3，
∴AC=AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AP=BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴S_{平行四邊形APFQ}=AP×PC=$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
即：點P運動到BC中點的位置時，以A、P、F、Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊FC上，且面積是$\frac{9}{4}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了角平分線的意義，銳角三角函數，勾股定理，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是特殊直角三角形的性質的運用．