Question

如圖所示，在△ABC中∠A=60°，∠ABC的角平分線和∠ACB的外角平分線交于點D，與∠ACB的角平分線交于點P，與邊AC交于點F．
（1）求∠BPC的度數；
（2）線段PC、PD有什么數量關系？說明理由．
（3）線段PE、PF有什么數量關系，說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據三角形內角和定理和角平分線的性質得到∠BPC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°；
（2）在直角△PCD中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半進行推理；
（3）PE=PF．作∠BPC的平分線PN交BC于點N．構建全等三角形：△BPE≌△BPN，△CPN≌△CPF，由全等三角形的對應邊相等證得結論．

解答： （1）解：∵在△ABC中∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC．
又∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠PCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°；

（2）∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于D，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCE=

1

2

∠ACE，
∵∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+∠ABC=∠ACE，
∴

1

2

∠ABC+∠D=

1

2

∠ACE，
即

1

2

∠ABC+∠D=

1

2

（∠A+∠ABC），
解得：∠D=

1

2

∠A=30°，
由（1）知，∠BPC=120°，則∠DPC=60°．
∴在△PCD中，∠PCD=90°，∠DPC=30°，
∴2PC=PD；

（3）PE=PF．證明如下：
作∠BPC的平分線PN交BC于N．
∵∠BPC=120°，
∴∠BPN=∠CPN=∠BPE=∠FPC=60°．
在△BPE與△BPN中，

∠BPE=∠BPN BP=BP ∠PBE=∠PBN

，
∴△BPE≌△BPN（ASA），
∴PE=PN．
同理，△CPN≌△CPF，
∴PN=PF，
∴PE=PF．

點評：本題考查了三角形的外角的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質．熟練掌握性質定理是解題的關鍵．