Question

已知a、b、c均為正數，滿足以上條件

a+b+c=32…① b+c-a bc + a+c-b ac + a+b-c ab = 1 4 …②

 
證明：以

a

，

b

，

c

為三邊長可構成一個直角三角形．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理

專題：證明題

分析：利用已知條件求出a=16，或b=16，或c=16，由a+b+c=32，得出b+c=a，或a+c=b，或a+b=c，根據勾股定理的逆定理即可證明以

a

，

b

，

c

為三邊長可構成一個直角三角形．

解答： 證明：將①代入②，得

32-2a

bc

+

32-2b

ac

+

32-2c

ab

=

1

4

，
兩邊同乘abc，整理得，1024-2（a²+b²+c²）=

1

4

abc ③，
由①得（a+b+c）²=1024，即a²+b²+c²=1024-2（ab+bc+ca），
代入③，得1024-2[1024-2（ab+bc+ca）]=

1

4

abc，
即abc=16（ab+bc+ca）-4096，
（a-16）（b-16）（c-16）=abc-16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）-16³
=-4096+256×32-16³=0，
所以a=16，或b=16，或c=16，
∵a+b+c=32，
∴b+c=a，或a+c=b，或a+b=c，
∴以

a

，

b

，

c

為三邊長可構成一個直角三角形．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．同時考查了分式的運算，求出a=16，或b=16，或c=16是解題的關鍵．本題的計算難度較大．