Question

7．如圖1，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是射線BO上的一個動點，從點B出發以每秒1個單位的速度沿BO方向運動，點D是x軸正半軸上的一點，且OD=2OC，過點C作線段CE⊥AB于點E，連接DE、CD．設點C的運動時間為t．
（1）AB=10，EC=$\frac{4}{5}$t（用t的代數式表示）；
（2）當點C在線段BO上運動，求t為何值時，△DCE是直角三角形；
（3）以DE為直徑作圓P，交CE于點F，當圓在直線CE上截取的弦EF=$\frac{3}{5}$DE時，則t=$\frac{82}{19}$s（直接寫出時間t的值）．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點坐標，利用相似三角形或三角函數求出EC即可．
（2）分兩種情形討論即可①如圖2中，當點D與點A重合時，△DCE是直角三角形．②如圖3中，當∠CDE=90°時，△CDE是直角三角形．
（3）如圖4中，連接DF，作DH⊥AB于H，則四邊形EFDH是矩形．首先證明EH=AH，根據AB=10，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

對于直線直線y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0得到y=6，令y=0得到x=8，
∴A（8，0），B（0，6）
∴OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵BC=t，sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{EC}{BC}$，
∴$\frac{8}{10}$=$\frac{EC}{t}$，
∴EC=$\frac{4}{5}$t，
故答案為10，$\frac{4}{5}$t．

（2）①如圖2中，當點D與點A重合時，△DCE是直角三角形．

∵OC=6-t，OD=2OC=12-2t，
∴12-2t=8，
∴t=2s
②如圖3中，當∠CDE=90°時，△CDE是直角三角形．

作EH⊥OA于H．
∵E（$\frac{12}{25}$t，6-$\frac{9}{25}$t），
由△COD∽△DHE得到，$\frac{DH}{EH}$=$\frac{CO}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=2DH，
∴6-$\frac{9}{25}$t=2[$\frac{12}{25}$t-（12-2t）]，
解得t=$\frac{750}{133}$s．
綜上所述，t的值為2s或$\frac{750}{133}$s時，△DCE是直角三角形．

（3）如圖4中，連接DF，作DH⊥AB于H，則四邊形EFDH是矩形．

∵EF=$\frac{3}{5}$DE，
∴sin∠EDF=$\frac{3}{5}$=sin∠BAO，
∴∠EDF=∠DAH，
∵DF∥EH，
∴∠DEH=∠EDF=∠EAD，
∴DE=DA，∵DH⊥AE，
∴EH=AH，
∵BE=$\frac{3}{5}$t，OD=12-2t，
∴AD=8-（12-2t）=2t-4，
∴EH=AH=$\frac{4}{5}$•（2t-4），
∵AB=10，
∴$\frac{3}{5}$t+$\frac{8}{5}$（2t-4）=10，
∴t=$\frac{82}{19}$s，
∴t=$\frac{82}{19}$s時，EF=$\frac{3}{5}$DE．
故答案為$\frac{82}{19}$s．

點評 本題考查圓綜合題、一次函數的應用、相似三角形的判定和性質、矩形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．