Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．

（1）BD與CD有什么數量關系，并說明理由；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．

（3）在（2）的條件下，△ABC滿足條件　　　　　　，矩形AFBD是正方形．

　

Answer 1

【考點】正方形的判定；全等三角形的判定與性質；矩形的判定．

【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；

（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質可知必須是AB=AC．

（3）添加∠BAC=90°，根據直角三角形的性質：斜邊中線等于斜邊的一半可得AD=BD，進而可得矩形AFBD是正方形．

【解答】解：（1）BD=CD，

理由：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∴AF=BD，

∴DB=CD；

 

（2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．

理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD（三線合一），

∴∠ADB=90°，

∴▱AFBD是矩形．

 

（3）△ABC滿足∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形；

∵BD=CD，∠BAC=90°，

∴AD=BD，

∴矩形AFBD是正方形．

【點評】本題考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵．