Question

3．如圖1，P點從點A開始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移動，點Q從點C開始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移動，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16厘米，AC=12厘米，BC=20厘米，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動時間，那么：
（1）如圖1，若P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動，試求出t為何值時，QA=AP
（2）如圖2，點Q在CA上運動，試求出t為何值時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的$\frac{1}{4}$；
（3）如圖3，當P點到達C點時，P、Q兩點都停止運動，試求當t為何值時，線段AQ的長度等于線段BP的長的$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 （1）當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設CQ=t，AP=2t，則AQ=12-t，由AQ=AP，可得方程12-t=2t，解方程即可．
（2）當Q在線段CA上時，設CQ=t，則AQ=12-t，根據三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的$\frac{1}{4}$，列出方程即可解決問題．
（3）分三種情形討論即可①當0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動．②當8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動．③當t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，分別列出方程求解即可．

解答 解：（1）當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設CQ=t，AP=2t，則AQ=12-t，
∵AQ=AP，
∴12-t=2t，
∴t=4．
∴t=4s時，AQ=AP．

（2）當Q在線段CA上時，設CQ=t，則AQ=12-t，
∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•AB•AQ=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$•AB•AC，
∴$\frac{1}{2}$×16×（12-t）=$\frac{1}{8}$×16×12，解得t=9．
∴t=9s時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的$\frac{1}{4}$．

（3）由題意可知，Q在線段CA上運動的時間為12秒，P在線段AB上運動時間為8秒，
①當0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動，設CQ=t，AP=2t，則AQ=12-t，BP=16-2t，
∵AQ=$\frac{1}{4}$BP，
∴12-t=$\frac{1}{4}$（16-2t），解得t=16（不合題意舍棄）．
②當8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動，設CQ=t，則AQ=12-t，BP=2t-16，
∵AQ=$\frac{1}{4}$BP，
∴12-t=$\frac{1}{4}$（2t-16），解得t=$\frac{32}{3}$．
③當t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，
∵AQ=t-12，BP=2t-16，
∵AQ=$\frac{1}{4}$BP，
∴t-12=$\frac{1}{4}$（2t-16），解得t=16，
綜上所述，t=$\frac{32}{3}$s或16s時，AQ=$\frac{1}{4}$BP．

點評 本題考查三角形綜合題，三角形面積、一元一次方程等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．