Question

16．已知：如圖，在?ABCD中，點E、F在BD上，且∠AEB=∠CFD．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）當四邊形AECF是菱形時，四邊形ABCD應滿足什么條件？（不需要說明理由）

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，∠BAE=∠CDF，由AAS證明證得△ABE≌△CDF，繼而證得結論；
（2）由菱形的判定定理容易得出結論．

解答 （1）證明：連接AC交BD于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．OA=OC，OB=OD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴BE=DF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：當四邊形AECF是菱形時，四邊形ABCD應滿足AC⊥BD；理由如下：
由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形AECF是菱形．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及菱形的判定．此題難度不大，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵，注意掌握數形結合思想的應用．