Question

17．如圖，△ABC中，AB=4，點D在AB邊上移動（不與A，B重合），DE∥BC，交AC于點E，連接CD，設S_△ABC=S，S_△DCE=S₁．
（1）當D為AB中點時，求S₁：S的值．
（2）若AD=x，$\frac{{S}_{1}}{S}$=y，試用x的代數式表示y，并求x的取值范圍；
（3）是否存在點D，使得S₁＞$\frac{1}{4}$S成立？若存在，求出點D的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，DE：BC=1：2，而高線的比也是1：2，則三角形的面積的比就可以求出；
（2）根據相似三角形的性質，可以得到底邊DE、BC以及高線之間的關系，就可以求出面積的比；
（3）使得S₁＞$\frac{1}{2}$S成立，可以轉化為函數值y的大小關系．

解答 解：如圖，
過A作AM⊥BC，交DE于點N，設AD=x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{x}{4}$，
∴DE=$\frac{x}{4}$×BC，AN=$\frac{x}{4}$×AM，
（1）當D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$AM，
∵S_△ABC=S=$\frac{1}{2}$AM×BC，
∴S_△DEC=S1=$\frac{1}{2}$AN×DE，
∴$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}AN×DE}{\frac{1}{2}AM×BC}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AM×\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AM×BC}$=$\frac{1}{4}$；
（2）∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\frac{MN}{AM}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}MN×DE}{\frac{1}{2}AM×BC}$=$\frac{DE}{BC}$×$\frac{MN}{AM}$=$\frac{x}{4}$×$\frac{4-x}{4}$=$\frac{-{x}^{2}+4x}{16}$，
∴y=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x（0＜x＜4）；
（3）不存在點D，使S₁＞$\frac{1}{2}$S，
理由如下：
假設存在點D，使S₁＞$\frac{1}{2}$S，
∴$\frac{{S}_{1}}{S}$＞$\frac{1}{2}$，
∴y＞$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x＞$\frac{1}{2}$，
∴（x-2）²＜0，
而（x-2）²≥0，
∴x不存在；
即不存在點D，使S₁＞$\frac{1}{2}$S．

點評 本題為三角形的綜合應用，主要考查了相似三角形的性質、以及三角形的面積的計算方法，確定出與兩三角形的面積有關的線段是解題的關鍵．本題考查知識點不多，注意計算的正確性．