Question

5．如圖所示，已知△ABC是邊長為6cm等邊三角形，動點P、Q同時從A、B出發，分別在AB、BC方向勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點停止運動，設運動的時間為t （s），解答下列問題：
（1）當t何值時，△PBQ為等邊三角形？
（2）當t何值時，△PBQ為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的判定得：BP=BQ，列等式可得t的值；
（2）分兩種情況：①如圖2，當∠BQP=90°時，BP=2BQ，則6-t=2×2t，②如圖3，當∠BPQ=90°時，BQ=2BP，則2t=2（6-t），分別求出t的值．

解答 解：（1）由題意得：AP=t，BQ=2t，則BP=6-t，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
當BP=BQ時，△PBQ是等邊三角形，如圖1，
則6-t=2t，
t=2，
∴當t=2時，△PBQ為等邊三角形；
（2）分兩種情況：
①如圖2，當∠BQP=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
則6-t=2×2t，
t=$\frac{6}{5}$，
②如圖3，當∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
2t=2（6-t），
t=3，
由題意得：0≤t≤3，
∴當t=$\frac{6}{5}$或3時，△PBQ為直角三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的性質和判定、30°角的直角三角形的性質、動點運動問題，本題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質和判定，要注意直角三角形分情況討論．