Question

18．如圖，矩形ABCD中，以AB為直徑作⊙O，點E是CD的中點，連接BE交⊙O于點F，連接DF并延長交BC于點G．
（1）求證：DG是⊙O的切線．
（2）如果AB=8，AD=6，求DG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OF、OD．只要證明△OAD≌△OFD，推出∠A=∠5=90°即可．
（2）設GB=GF=x，則CG=6-x，DG=6+x，CD=AB=8，在Rt△GCD中，由勾股定理可得8²+（6-x）²=（6+x）²，解方程即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OF、OD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD=AB，∠A=90°，
∵OA=OB，CE=DE，
∴DE=OB，
∴OBED是平行四邊形，
∴OD∥BE，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OA=OF，OD=OD，
∴△OAD≌△OFD，
∴∠A=∠5=90°，
∴DG是⊙O的切線．

（2）解：∵∠A=∠ABC=90°，
∴AD、BC都是⊙O的切線，
∵DG是⊙O的切線，
∴DF=DA=6，設GB=GF=x，則CG=6-x，DG=6+x，
∵CD=AB=8，
在Rt△GCD中，由勾股定理可得8²+（6-x）²=（6+x）²，
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴DG=6+$\frac{8}{3}$=$\frac{26}{3}$．

點評 本題考查切線的判定、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．