Question

10．三角形ABC的面積為180，D為BC上最靠近B的4等分點，F為AD上最靠近D的3等分點，那么四邊形DCEF的面積是105．

Answer 1

分析 過D作DH∥AC交BE于H，連接DE，得到△BDH∽△BCE，△DHF∽△AFE，由于D為BC上最靠近B的4等分點，F為AD上最靠近D的3等分點，于是得到$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，求得AE=2DH，CE=4DH，推出S_△BCE=$\frac{2}{3}$S_△ABC=120，由于CD=$\frac{3}{4}$BC，于是得到S_△CDE=$\frac{3}{4}$S_△BCE=90，S_△ACD=$\frac{3}{4}$S_△ABC=135，根據AC=3AE，于是推出S_△ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADC=45，通過AF=2DF，得到S_△EFD=$\frac{1}{3}$S_△ADE=15，即可得到結果．

解答 解：過D作DH∥AC交BE于H，連接DE，
∴△BDH∽△BCE，△DHF∽△AFE，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DH}{CE}$，$\frac{DH}{AE}=\frac{DF}{AF}$，
∵D為BC上最靠近B的4等分點，F為AD上最靠近D的3等分點，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2DH，CE=4DH，
∴CE=2AE，
∴S_△BCE=$\frac{2}{3}$S_△ABC=120，
∵CD=$\frac{3}{4}$BC，
∴S_△CDE=$\frac{3}{4}$S_△BCE=90，S_△ACD=$\frac{3}{4}$S_△ABC=135，
∵AC=3AE，
∴S_△ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADC=45，
∵AF=2DF，
∴S_△EFD=$\frac{1}{3}$S_△ADE=15，
∴四邊形DCEF的面積是：△EFD的面積+△CDE的面積=15+90=105．
故答案為：105．

點評 本題考查的是面積及等積變換，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出相似三角形，利用相似三角形的性質性質進行解答．