Question

已知關于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠）。

（1）求證：無論k取何值，方程總有兩個實數根；

（2）若二次函數y= kx2+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為整數，求k的值。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）整數k為±1．

【解析】

試題分析：（1）先計算判別式得值得到△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2，然后根據非負數的性質得到△≥0，則根據判別式的意義即可得到結論；

（2）先由求根公式得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解為x1=-，x2=-3，則二次函數y=kx2+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標分別為-和-3，然后根據整數的整除性可確定整數k的值．

試題解析：（1）證明：△=（3k+1）2-4k×3

=（3k-1）2，

∵（3k-1）2，≥0，

∴△≥0，

∴無論k取何值，方程總有兩個實數根；

（2）【解析】
kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）

x=，

x1=-，x2=-3，

所以二次函數y=kx2+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標分別為-和-3，

根據題意得-為整數，

所以整數k為±1．

考點：1.根的判別式；2.拋物線與x軸的交點．