Question

4．閱讀下列解題過程：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{4}）^{2}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{4}$=$\sqrt{5}$-2
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{1×（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
請回答下列問題：
（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$（n≥2）的結果為$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（2）利用上面所提供的解法，求$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據解題規律即可直接寫出結果；
（2）根據已知中的規律把每個式子寫成兩個數的差的形式，然后合并同類二次根式即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
故答案是：$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$）
=$\sqrt{100}$-1．

點評 本題考查了分母有理化，正確讀懂已知條件中式子的規律，正確對已知的式子進行化簡是關鍵．