Question

5．如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點，AD為∠BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF=AC+AF．

Answer 1

分析 延長FE至Q，使EQ=EF，連接CQ，根據SAS證△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根據平行線性質和角平分線性質推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．

解答 證明：延長FE至Q，使EQ=EF，連接CQ，
∵E為BC邊的中點，
∴BE=CE，
∵在△BEF和△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠BEF=∠CEQ}\\{EF=EQ}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEQ，
∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AD，
∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，
∴∠G=∠GFA，
∴∠GFA=∠BFE，AG=AF，
∵∠BFE=∠Q（已證），
∴∠G=∠Q，
∴CQ=CG，
∵CQ=BF，
∴BF=CG=AG+AC=AF+AC．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質和角平分線性質的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，正確作輔助線是解此題的關鍵．