Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0）、B兩點，交y軸于點C（0，5），且過點D（1，8），M為其頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△MCB的面積？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C、D三點在拋物線上，根據待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點M作MN∥y軸交BC軸于點N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積=$\frac{1}{2}$MN•OB；
（3）先由△PAB的面積等于△MCB的面積，求出AB邊上的高即點P的縱坐標的絕對值，再將點P的縱坐標代入拋物線的解析式，得到一元二次方程，如果方程有實數根，則在拋物線上存在點P，否則不存在．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三點在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{5=c}\\{8=a+b+c}\end{array}\right.$，
解方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為y=-x²+4x+5；

（2）過點M作MN∥y軸交BC軸于點N，則△MCB的面積=△MCN的面積+△MNB的面積=$\frac{1}{2}$MN•OB．
∵y=-x²+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）²+9，
∴M（2，9），B（5，0），
由B、C兩點的坐標易求得直線BC的解析式為：y=-x+5，
當x=2時，y=-2+5=3，則N（2，3），
則MN=9-3=6，
則S_△MCB=$\frac{1}{2}$×6×5=15；

（3）在拋物線上存在點P，使△PAB的面積等于△MCB的面積．理由如下：
∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，
∵△PAB的面積=△MCB的面積，
∴$\frac{1}{2}$×6×|y_P|=15，
∴|y_P|=5，y_P=±5．
當y_P=5時，-x²+4x+5=5，解得x₁=0，x₂=4；
當y_P=-5時，-x²+4x+5=-5，解得x₃=2+$\sqrt{14}$，x₄=2-$\sqrt{14}$．
故在拋物線上存在點P₁（0，5），P₂（4，5），P₃（2+$\sqrt{14}$，-5），P₃（2-$\sqrt{14}$，-5），使△PAB的面積等于△MCB的面積．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，確定特殊點的坐標，三角形的面積，正確的理解題意是解題的關鍵．