Question

（本題滿分10分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE = AF．

（1）求證：BE = DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

（1）見解析（5分）（2）菱形 證明：見解析（5分）

【解析】

試題分析：（1）根據條件證△ABE≌△ADF即可；（2）因為OA=OM，所以證明EF、AM互相垂直平分，從而可判定四邊形AEMF是菱形．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AD=AB，AF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE=DF；（2）【解析】
四邊形AEMF是菱形，理由為：證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC，∵BE=DF，∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF，在△COE和△COF中CE=CF，∠ACB=∠ACD， OC=OC∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四邊形AEMF是平行四邊形，∵AE=AF，∴平行四邊形AEMF是菱形．

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3. 菱形的判定.