Question

（10分）如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．

求證：（1）∠EDC＝∠ECD

（2）OC＝OD

（3）OE是線段CD的垂直平分線

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的性質可得DE=EC，然后根據等邊對等角可得∠EDC＝∠ECD；（2）根據互余的性質證明∠ODC＝∠OCD即可，也可以證明Rt△ODE≌Rt△OCE；（3）由OC＝OD得點O在線段CD的垂直平分線，由DE=EC，得點E在線段CD的垂直平分線，所以OE是線段CD的垂直平分線.

試題解析：（1）因為點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，所以DE=EC，所以∠EDC＝∠ECD；（2）因為∠EDC＝∠ECD，∠EDO＝∠ECO=900,所以∠ODC＝∠OCD，所以OC＝OD；（3）因為OC＝OD，所以點O在線段CD的垂直平分線，因為DE=EC，所以點E在線段CD的垂直平分線，所以OE是線段CD的垂直平分線.

考點：1.角平分線的性質;2.直角三角形的性質;3.等腰三角形；4. 線段垂直平分線的判定.