Question

9．如圖，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分線BP于點P，若△ABC的面積是16平方厘米，BP=5cm，且△APB的面積是△APC的面積的3倍，則AP=$\frac{12}{5}$cm．

Answer 1

分析 延長AP交BC于E，根據AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可求得△APB的面積．

解答 解：解：延長AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分線BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△ABP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠EBP}\\{BP=BP}\\{∠APB=∠EPB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴S_△ABP=S_△EBP，AP=EP，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S_△APC=S_△PCE，
∵S_△ABP=3S_△APC，
∴S_△EBP=3S_△PCE，
∵S_△PBC=8cm²，
∴S_△EBP=6cm²，
∴S_△ABP=6cm²．
∵BP=5cm，
∴AP=$\frac{2×6}{5}$=$\frac{12}{5}$cm．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題主要考查面積及等積變換以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．