Question

18．如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，A點的坐標為（4，0），C點的坐標為（0，10），點B在第一象限內．D為OC的中點．
（1）寫出點B的坐標（4，10）．
（2）P為AB邊上的動點，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，求出點P的坐標．
（3）在x軸上找一點Q，使|QD-QB|最大，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質得到AB=OC，BC=OA，A點的坐標為（4，0），C點的坐標為（0，10），得到OA=4，OC=10，即可得到結論；
（2）由D為OC的中點，得到OD=5，求得OA=4，OD=5，分為兩種情況：①當OP₁=OD=5時，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP₁=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，即P的坐標是（4，3）；
②以D為圓心，以5為半徑作弧，交AB于P₂、P₃，此時DP₂=DP₃=5=OD，過D作DE⊥AB于E，在Rt△EDP中，DE=OA=4，由勾股定理得：PE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，于是得到AP=5-3=2＜AB，求得P₂的坐標是（4，2）；當在P₃處時，CP₃=5+3=8＜BC，得到P₃在AB上，AB∥OC，B（4，10），此時P₃的坐標是（4，8），
（3）連接BD并延長交x軸于Q，則點Q即為|QD-QB|最大的點，求出直線BD的解析式為：y=$\frac{5}{4}$x+5，當y=0時，x=-4，即可得到結論．

解答 解：（1）在長方形OABC中，
∵AB=OC，BC=OA，A點的坐標為（4，0），C點的坐標為（0，10），
∴OA=4，OC=10，
∴AB=10，BC=4，
∴點B的坐標（4，10）；
故答案為：（4，10）；

（2）∵D為OC的中點，
∴OD=5，
∴OA=4，OD=5，
分為兩種情況：①當OP₁=OD=5時，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP₁=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即P的坐標是（4，3）；
②以D為圓心，以5為半徑作弧，交AB于P₂、P₃，此時DP₂=DP₃=5=OD，過D作DE⊥AB于E，
∵在Rt△EDP中，DE=OA=4，由勾股定理得：PE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AP=5-3=2＜AB，
∵P₂在AB上，AB∥OC，B（4，10），
∴P₂的坐標是（4，2）；
當在P₃處時，CP₃=5+3=8＜BC，
∵P₃在AB上，AB∥OC，B（4，10），
此時P₃的坐標是（4，8），
綜上所述：P（4，2）、（4，3）、（4，8）

（3）連接BD并延長交x軸于Q，則點Q即為|QD-QB|最大的點，
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10=4k+b}\\{5=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{4}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=$\frac{5}{4}$x+5，
當y=0時，x=-4，
∴Q（-4，0）．

點評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，等腰三角形的性質、勾股定理、矩形的性質、坐標和圖形變換等，注意：應進行分類討論，題目比較好，難度適中．